矩阵相似的充要条件：

1、两者的秩相等。

2、两者的行列式值相等。

3、两者的迹数相等。

4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。

5、两者拥有同样的特征多项式。

6、两者拥有同样的初等因子。

若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。

矩阵等式：

特征矩阵等价行列式因子相同不变，因子相同初等因子相同，且特征矩阵的秩相同转置矩阵相似。在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B。

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量!

证明：（1）充分性：n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A与对角矩阵相似

（2）必要性：n阶矩阵A与对角矩阵相似，则A有n个线性无关的特征向量

1、在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合?[1]?，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

2、矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。?[2]?在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

（资料来源：百度百科：矩阵）